Question

13．过抛物线C：y²=4x的焦点F作直线l交C于A，B两点，则|AF|+2•|BF|的最小值是3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 将直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线的性质求得$\frac{1}{丨AF丨}$+$\frac{1}{丨BF丨}$=1，利用基本不等式的性质，即可求得|AF|+2•|BF|的最小值．

解答 解：抛物线C：y²=4x的焦点F坐标（1，0），准线方程为x=-1．
设过F点的直线方程为y=k（x-1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化简后为：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
则x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
根据抛物线性质可知，|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1
∴$\frac{1}{丨AF丨}$+$\frac{1}{丨BF丨}$=$\frac{{x}_{1}+1+{x}_{2}+1}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{1}{x}_{2}+1}$=1，
∴$\frac{1}{{|{AF}|}}+\frac{1}{{|{BF}|}}=\frac{2}{p}=1$，
|AF|+2•|BF|=$（{|{AF}|+2•|{BF}|}）•（{\frac{1}{{|{AF}|}}+\frac{1}{{|{BF}|}}}）$=$3+2•\frac{{|{BF}|}}{{|{AF}|}}+\frac{{|{AF}|}}{{|{BF}|}}≥3+2\sqrt{2}$．
当且仅当$\frac{2丨BF丨}{丨AF丨}$=$\frac{丨AF丨}{丨BF丨}$时，即丨AF丨=1+$\sqrt{2}$，丨BF丨=$\frac{\sqrt{2}（1+\sqrt{2}）}{2}$时，取等号，
∴|AF|+2•|BF|的最小值3+2$\sqrt{2}$，
故答案为：3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，抛物线的性质以及基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．