Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为a，侧面B₁C₁CB⊥底面ABC，O是BC的中点，且AC₁⊥BC．
（Ⅰ）求证：AC₁⊥A₁B；
（Ⅱ）求直线B₁A与平面AOC₁所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）利用线面垂直证明线线垂直；
（Ⅱ）所以B₁C₁⊥面AOC₁，所以∠B₁AC₁就是所求的线面角，再解三角形．

解答： 解：（Ⅰ）连接A₁C，因四边形A₁ACC₁是菱形，所以AC₁⊥A₁C------------4分
由已知AC₁⊥BC且BC∩A₁C=C
所以AC₁⊥面A₁BC------------6分
所以AC₁⊥A₁B；----------7分
（Ⅱ）因为AO是正△ABC的中线，所以BC⊥AO，又AC₁⊥BC，所以BC⊥面AOC₁-----------------9分
所以B₁C₁⊥面AOC₁，所以∠B₁AC₁就是所求的线面角，----------11分
所以BC⊥C₁O，
又因为侧面侧面B₁C₁CB⊥底面ABC，侧面B₁C₁CB∩底面ABC=BC
所以C₁O⊥面ABC，
因为C₁O=AO=

3

2

a，所以AC₁=

6

2

a，-----------13分
在Rt△AB₁C₁中，tan∠B₁AC₁=

a

6 a 2

=

6

3

-----------14分

点评：本题考查直线与直线垂直的判定，线面角的计算，考查计算能力，逻辑思维能力，是中档题．