题目内容

设a＞0，b＞0，双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的离心率为e1，双曲线
y2
b2
-
x2
a2
=1的离心率为e2，证明e12+e22=e12e22．
考点：双曲线的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由已知条件推导出e1=
c
a
，e2=
c
b
，再分求出e12+e22和e12e22，由此能证明e12+e22=e12e22．
解答： 解：∵双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的离心率为e1，
双曲线
y2
b2
-
x2
a2
=1的离心率为e2，
∴e1=
c
a
，e2=
c
b
，
∵e12+e22=
c2
a2
+
c2
b2
=
c2(a2+b2)
a2b2
=
c4
a2b2
．
e12e22=
c2
a2
•
c2
b2
=
c4
a2b2
．
∴e12+e22=e12e22．
点评：本题考查双曲线的离心率的求法及应用，是基础题，解题时要熟练掌握离心率的性质．
练习册系列答案
相关题目
如图，梯形ABCD中，E是DC延长线上一点，AE分别交BD于G，交BC于F．则下列结论：
①
EC
CD
=
EF
AF
；②
FG
AG
=
BG
GD
；③
AE
AG
=
BD
DG
；④
AF
CD
=
AE
DE
，其中正确的个数是（　　）
A、1B、2C、3D、4
已知甲箱装有a个白球2个黑球，乙箱装有2个白球1个黑球，这些球除颜色外完全相同．现从甲箱中随机摸两球，乙箱中随机模一球，若恰好摸出三个黑球的概率为
1
18
．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）记甲箱摸出x个黑球，乙箱摸出y个黑球，ξ=|x-y|．求ξ的分布列及Eξ的值．
（1）将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积；
（2）在△ABC中，满足：
AB
⊥
AC
，|
AB
|=|
AC
|，求向量
AB
+2
AC
与向量2
AB
+
AC
的夹角的余弦值．
已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数
（1）求a的值
（2）讨论关于x的方程
lnx
f(x)
=x2-2ex+m的根的函数
（3）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．
设x+y+z=0，求证：6（x3+y3+z3）2≤（x2+y2+z2）3．
若关于x的方程x2+2ax-2a-2=0在x∈[0，1]中有解，求a的范围．
已知f（x）是定义在区间[0，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0有
f(a)+f(b)
a+b
＞0恒成立．
（1）判断f（x）在[-1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；
（2）若f（x）≤m2-2am+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足以下三个条件：①f（1）=1；②对任意的x∈[0，1]，都有f（x）≥0； ③当x≥0，y≥0，x+y≤1时总有f（x+y）≥f（x）+f（y）．
（1）试求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值；
（3）证明：当x∈[
1
4
，1]时，恒有2x≥f（x）．

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