Question

10．已知动点P（x，y）到直线$l：x=2\sqrt{2}$的距离是它到点$F（\sqrt{2}，0）$的距离的$\sqrt{2}$倍．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若直线y=k（x-1）与轨迹C交于不同的两点M，N．A（2，0），当△AMN的面积为$\frac{\sqrt{10}}{3}$时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）利用直接法求动点P的轨迹C的方程；
（2）联立y=k（x-1）与椭圆C，利用弦长公式，表示出△AMN面积，化简求解即可．

解答 解：（1）由题意，|2$\sqrt{2}$-x|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（x-\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$
化简可得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，∴动点P的轨迹C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）直线y=k（x-1）与椭圆方程联立，可得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，┅┅┅┅┅┅┅（8分），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，y₁-y₂=k（x₁-x₂）．
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{（1+{k}^{2}）（4+6{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$，
∵A（2，0）到直线y=k（x-1）的距离d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△AMN的面积=$\frac{1}{2}$|MN|d=$\frac{|k|\sqrt{4+6{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，∴k=±1．┅┅┅┅┅┅┅（12分），

点评 本题考查轨迹的方程的求法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．