Question

已知函数f（x）=a+

2

2x-1

为奇函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）证明|f（x）|＞1．

Answer 1

考点：不等式的证明,函数奇偶性的性质,绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用,推理和证明

分析：（Ⅰ）通过奇函数的定义，通过比较系数，即可求出实数a的值；
（Ⅱ）证明利用函数的解析式，通过x大于0，小于0，分别求解函数的最值，集合函数的奇偶性证明|f（x）|＞1．

解答： 解：（Ⅰ）解：函数定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），
即a+

2

2-x-1

=-(a+

2

2x-1

)，
解得a=1．…（6分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)=1+

2

2x-1

，
①当x∈（0，+∞）时，2x -1＞0，f(x)=1+

2

2x-1

＞1；…（8分）
②当x∈（-∞，0）时，-x∈（0，+∞），f（-x）＞1，…（10分）
由f（x）为奇函数知f（x）=-f（-x）＜-1，
由①、②知|f（x）|＞1．…（12分）

点评：本题考查函数的奇偶性，不等式的证明，函数的最值，考查分析问题解决问题的能力．