Question

（Ⅰ）已知x＞0，y＞0，x+2y=1，求

1

x

+

1

y

的最小值．
（Ⅱ）已知a，b∈（0，+∞），求证：

2ab

a+b

≤

ab

．

Answer 1

分析：（I）由题意

1

x

+

1

y

=（x+2y）（

1

x

+

1

y

）=3+

x

y

+

2y

x

，1代换后直接利用基本不等式即可求解；
（II）要证不等式成立，只要证

2 ab

a+b

≤1，即证a+b≥2

ab

，而a+b≥2

ab

显然成立，从而得到要证的不等式成立．

解答：解：（I）∵x＞0，y＞0，且x+y=1，

1

x

+

1

y

=（x+y）（

1

x

+

1

y

）=3+

x

y

+

2y

x

≥3+2

x y • 2y x

=3+2

2

当且仅当

x

y

=

2y

x

时取等号．
则

1

x

+

1

y

的最小值3+2

2

．
（II）要证：

2ab

a+b

≤

ab

，只须证

2 ab

a+b

≤1，也只要证a+b≥2

ab

，
根据基本不等式，而+b≥2

ab

显然成立，
故

2ab

a+b

≤

ab

成立．

点评：（I）本题主要考查了基本不等式的应用，注意1的代换在变形中的应用．（II）本题主要考查用分析法证明不等式，把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止．