Question

已知x＞0，y＞0，x+y=1，则(

1

x2

-1)(

1

y2

-1) 的最小值为

9

．

Answer 1

分析：将(

1

x2

-1)(

1

y2

-1) 展开得到

1-[(x+y)2-2xy]

x2y2

+1，将已知条件x+y=1代入，然后利用基本不等式求出最小值．

解答：解：(

1

x2

-1)(

1

y2

-1)
=

1-(x2+y2)

x2y2

+1
=

1-[(x+y)2-2xy]

x2y2

+1，
=

2xy

x2y2

+1
=

2

xy

+1，
因为x＞0，y＞0，x+y=1，
所以xy≤(

x+y

2

)2=

1

4

，
当且仅当x=y时，取等号，
所以=

2

xy

+1≥9
故答案为9．

点评：利用基本不等式解决函数的最值问题时，一定要注意不等式使用的条件：一正、二定、三相等，属于基础题．