题目内容
已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1，设a≤-2，求不等式f（x）≤a+5-4x的解集．
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：将问题转化为求（a+1）lnx+ax2+4x-a-4≤0的解集，令g（x）=（a+1）lnx+ax2+4x-a-4，通过求导得g（x）在（0，+∞）递减，而g（1）=0，进而求出不等式的解集．
解答：
解：∵f（x）=（a+1）lnx+ax2+1，
∴（a+1）lnx+ax2+1≤a+5-4x，
∴（a+1）lnx+ax2+4x-a-4≤0，
令g（x）=（a+1）lnx+ax2+4x-a-4，
g′（x）=
+2ax+4
=
=
，
∵a≤-2，∴2a(x+
)2＜0，
＜0
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递减，
当x=1时，g（1）=0，
∴x≥1时，g（x）≤0，
∴等式f（x）≤a+5-4x的解集是：{x|x≥1}．
∴（a+1）lnx+ax2+1≤a+5-4x，
∴（a+1）lnx+ax2+4x-a-4≤0，
令g（x）=（a+1）lnx+ax2+4x-a-4，
g′（x）=
| a+1 |
| x |
=
| 2ax2+4x+(a+1) |
| x |
=
2a(x+
| ||||
| x |
∵a≤-2，∴2a(x+
| 1 |
| a |
| (a+2)(a-1) |
| a |
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递减，
当x=1时，g（1）=0，
∴x≥1时，g（x）≤0，
∴等式f（x）≤a+5-4x的解集是：{x|x≥1}．
点评：本题考查了导数的应用，函数的单调性，考查了转化思想，是一道综合题．
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