Question

正方体AC₁中，E，F分别是D₁C₁，DC的中点，N是A₁E的中点，M为正方形A₁ADD₁的中心．
（1）求证：∠ENM=∠C₁FA
（2）求证：平面A₁ME∥平面AFC₁
（3）平面A₁ME与平面AFC₁将正方体分为3部分，求中间部分的体积．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接A₁D、DE，则所要证明的两角的边分别平行，利用等角定理证明．
（2）由第（1）问的线线平行关系，利用面面平行的判定定理可解决问题．
（3）先找出截正方体的两个截面，其中一个截面把正方体等分，另一个截面得三棱锥的体积可求，作差即可求出中间部分的体积．

解答： 解：（1）如图，连接A₁D、DE


则MN为△A₁DE的中位线，故MN∥DE，而DE∥FC₁，
∴MN∥FC₁，又∵AF∥A₁E，
根据等角定理，∠ENM与∠C₁FA相等或互补，又因为它们都是钝角，
∴∠ENM=∠C₁FA
（2）由（1）知，MN∥FC₁、AF∥A₁E，
而MN、A₁E是平面A₁ME内的线，
由线面平行的判定定理知，FC₁∥平面A₁ME、AF∥平面A₁ME，
∵FC₁与AF是平面AFC₁内的两条相交直线，根据面面平行的判定定理知，
平面A₁ME∥平面AFC₁
（3）取A₁B₁的中点G，连接C₁G、AG，
则平面AFC₁G为截面，它把正方体等分成两部分，
平面A₁DE为平面A₁ME截正方体的截面，
设正方体的棱长为a，则V三棱锥D-A1D1E=

1

3

×

1

2

a×

1

2

a×a=

1

12

a³，
∴V中间部分=

1

2

a3-V三棱锥D-A1D1E=

1

2

a3-

1

12

a3=

5

12

a3

点评：熟练掌握线面平行的判定和性质定理、正方体的性质、三角形的中位线定理、面面平行的判定定理、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．