Question

3．曲线$y=\sqrt{x}$在x=1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 由题意求出切点坐标，由求导公式求出函数的代数，由导数的几何意义求出切线的斜率，代入点斜式方程求出切线的方程，分别令x=0、y=0求出切线的截距，即可求出切线与坐标轴围成的三角形面积．

解答 解：由题意知，曲线$y=\sqrt{x}$，
当x=1时y=1，则切点坐标是（1，1），
又$y′=（\sqrt{x}）′=（{x}^{\frac{1}{2}}）′$=$\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
则在x=1处的切线的斜率k=$\frac{1}{2}$，
所有在x=1处的切线方程是y-1=$\frac{1}{2}$（x-1），
即y=$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，
令x=0，则y=$\frac{1}{2}$；令y=0，则x=-1，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积：
S=$\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
故选A．

点评 本题考查求导公式，导数的几何意义，以及切线的直线方程的求法，属于基础题．