Question

13．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，点M、N、E分别为A₁B、B₁C₁、A₁B₁上的中点．
（Ⅰ）求证：平面MNE∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若AB=AC=AA₁=2，求证：平面BMC⊥平面AMC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知结合三角形的中位线定理可得EN∥A₁C₁，进一步得EN∥平面ACC₁A₁．同理得EM∥平面ACC₁A₁ ．再由面面平行的判定得答案；
（Ⅱ）由已知直三棱柱及AB⊥AC，可得AC⊥BM，再由AB=AA₁，结合点M为A₁B的中点得BM⊥AM，由线面垂直的判定得BM⊥面AMC，从而可得平面BMC⊥平面AMC．

解答 证明：（Ⅰ）∵N、E分别为B₁C₁、A₁B₁上的中点，∴EN∥A₁C₁，则EN∥平面ACC₁A₁．
同理EM∥BB₁，又∵ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴AA₁∥BB₁，则EM∥AA₁，得EM∥平面ACC₁A₁ ．
又EN∩EM=E，∴面MNE∥面ACC₁A₁；
（Ⅱ）∵ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴AA₁⊥面ABC，
AC?面ABC，∴AA₁⊥AC，
又∵AB⊥AC，AA₁∩AB=A，∴AC⊥面AB₁，BM?面AB₁，AC⊥BM，
又∵点M为A₁B的中点，∴BM⊥AM，而AC∩AM=A，
∴BM⊥面AMC，又BM?面BMC
∴平面BMC⊥平面AMC．

点评 本题考查面面平行与面面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．