Question

11．已知函数f（x）=（x-a）lnx，（a≥0）．
（1）当a=0时，若直线y=2x+m与函数y=f（x）的图象相切，求m的值；
（2）若f（x）在[1，2]上是单调减函数，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求导函数，利用直线y=2x+m与函数y=f（x）的图象相切，求切点坐标，即可求m的值；
（2）利用f（x）在[1，2]上是单调减函数，可得f′（x）=lnx+1-$\frac{a}{x}$，≤0在[1，2]上恒成立，分离参数，求最值，即可求得a的最小值；

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=xlnx，
∴f′（x）=lnx+1，
∵直线y=2x+m与函数y=f（x）的图象相切，
∴斜率k=f′（x）=lnx+1=2，解得：x=2
∵f（e）=e，
∴切点为（e，e），
∴m=-e；
（2）∵f（x）=（x-a）lnx，求导，f′（x）=lnx+1-$\frac{a}{x}$，
∵f（x）在[1，2]上是单调减函数，
∴f′（x）=lnx+1-$\frac{a}{x}$≤0在[1，2]上恒成立
∴a≥xlnx+x在[1，2]上恒成立
令g（x）=xlnx+x，则g′（x）=lnx+2＞0
∴g（x）=xlnx+x在[1，2]上单调递增
∴a≥g（2）=2ln2+2
∴a的最小值为2ln2+2；

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，考查分离参数求最值的应用，属于中档题．