Question

6．设函数f（x）=x²+alnx+1（x＞0）．
（1）若f（3）=5，求f（$\frac{1}{3}$）的值；
（2）若x＞0时，f（x）≥1成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（3）=5得出aln3=-5，再求出f（$\frac{1}{3}$）的值．
（2）alnx≥-x²．然后讨论lnx的符号分离参数，转化为求-$\frac{{x}^{2}}{lnx}$得最大值或最小值问题．

解答 解：（1）∵f（3）=10+aln3=5，∴aln3=-5．∴f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{10}{9}$+aln$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{9}$-aln3=$\frac{10}{9}+5$=$\frac{55}{9}$．
（2）∵x²+alnx+1≥1，∴alnx≥-x²．
①若lnx=0，即x=1时，显然上式恒成立．
②若lnx＞0，即x＞1时，a≥-$\frac{{x}^{2}}{lnx}$．令g（x）=-$\frac{{x}^{2}}{lnx}$．则g′（x）=$\frac{x（1-2lnx）}{l{n}^{2}x}$，
∴当1＜x$＜\sqrt{e}$时，g′（x）＞0，当x$＞\sqrt{e}$时，g′（x）＜0，
∴当x=$\sqrt{e}$时，g（x）取得最大值g（$\sqrt{e}$）=-2e．∴a≥-2e．
③若lnx＜0，即0＜x＜1时，a≤-$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，由②讨论可知g（x）在（0，1）上是增函数，且g（x）＞0，∴a≤0．
综上，a的取值范围是[-2e，0]．

点评 本题考查了函数求值及函数恒成立问题，分离参数法是常用解题方法之一．