Question

如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM∥AC．
（1）求证：平面MOE∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面PCB；
（3）求三棱锥O-PBC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）利用三角形的中位线定理可得OE∥PA．即可得出OE∥平面PAC．再利用OM∥AC，可得OM∥平面PAC．再利用面面平行的判定定理即可得出平面MOE∥平面PAC．
（2）点C在以AB为直径的⊙O上，可得BC⊥AC．利用PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC．可得BC⊥平面PAC．即可得出平面PAC⊥平面PCB．
（3）利用V_{三棱锥O-PBC}=V_{三棱锥P-OBC}=

1

3

•S△OBC•PA即可得出．

解答： （1）证明：∵点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，
∴OE∥PA．
∵PA?平面PAC，OE?平面PAC，
∴OE∥平面PAC．
又∵OM∥AC，AC?平面PAC，OM?平面PAC，
∴OM∥平面PAC．
∵OE?平面MOE，OM?平面MOE，OE∩OM=O，
∴平面MOE∥平面PAC．
（2）证明：∵点C在以AB为直径的⊙O上，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC．
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC．
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC．
∵BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PCB．
（3）V_{三棱锥O-PBC}=V_{三棱锥P-OBC}=

1

3

•S△OBC•PA=

1

3

×

1

2

×1×1×sin120°×2=

3

6

．

点评：本题考查了线面面面平行与垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、三角形的中位线定理，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题．