Question

7．已知数列{a_n}满足：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_na_n+1，S_n为数列{b_n}的前n项和，对于任意的正整数n，S_n＞2λ-$\frac{1}{3}$恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意和数列前n项和与通项公式的关系式，求出$\frac{1}{{a}_{n}}$，即可求出a_n；
（2）把a_n代入b_n=a_na_n+1化简，利用裂项相消法求出S_n，根据数列的单调性求出S_n的最小值，由恒成立的条件列出不等式，求出实数λ的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，当n=1时，$\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}$，则a₁=2，
当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{{n}^{2}}{2}$，
则$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n-1}}=\frac{（{n-1）}^{2}}{2}$，
两式相减得，$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{{（n-1）}^{2}}{2}$=$\frac{2n-1}{2}$，即a_n=$\frac{2}{2n-1}$，
当n=1时，也符合上式，则a_n=$\frac{2}{2n-1}$；
（2）由（1）得，b_n=a_na_n+1=$\frac{2}{2n-1}•\frac{2}{2（n+1）-1}$
=$\frac{4}{（2n-1）（2n+1）}$=2（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
所以S_n=2[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$）…+（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）]
=2（1-$\frac{1}{2n+1}$），
则n越大，$\frac{1}{2n+1}$越小，S_n越大，
即当n=1时，S_n最小为S₁=$\frac{4}{3}$，
因为对于任意的正整数n，S_n＞2λ-$\frac{1}{3}$恒成立，
所以$\frac{4}{3}$＞2λ-$\frac{1}{3}$，解得$λ＜\frac{5}{6}$，
故实数λ的取值范围是（-∞，$\frac{5}{6}$）．

点评 本题是数列与函数、不等式结合的题目，考查数列前n项和与通项公式的关系式，裂项相消法求出数列的和，以及恒成立问题的转化，属于中档题．