Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{3}{2}$x²+x，a∈R．
（ 1）若曲线y=f（x）在x=x₀处的切线方程为y=x-2，求a的值；
（2）若f′（x）是f（x）的导函数，且不等式f′（x）≥xlnx恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于x₀，a的方程组，解出即可；
（2）分离参数，得到a≥$\frac{3}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{lnx}{x}$，令t=$\frac{1}{x}$，得到g（t）=3t-t²-tlnt，t＞0，根据函数的单调性求出g（t）的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{3}{2}$x²+x，
f′（x）=ax²-3x+1，
结合已知得：$\left\{\begin{array}{l}{f{（x}_{0}）=\frac{1}{3}{{ax}_{0}}^{3}-{{\frac{3}{2}x}_{0}}^{2}{+x}_{0}{=x}_{0}-2①}\\{f′{（x}_{0}）={{ax}_{0}}^{2}-{3x}_{0}+1=1②}\end{array}\right.$，
由②得：ax₀=3或x₀=0（不满足①，舍去），
把ax₀=3代入①，得：x₀=±2，从而a=±$\frac{3}{2}$；
（2）f′（x）≥xlnx，即为ax²-3x+1≥xlnx，x＞0，
得a≥$\frac{3}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{lnx}{x}$，令t=$\frac{1}{x}$，g（t）=3t-t²-tlnt，t＞0，
则g′（t）=2-2t-lnt，
由于g′（t）在（0，+∞）递减且g′（1）=0，
∴g′（t）在（0，+∞）上有唯一零点t=1，
从而g（t）在t=1处取得最大值，且最大值g（1）=2，
因此要a≥g（t）使对任意的t＞0恒成立，需且只需a≥2，
综上，f′（x）≥xlnx对任意的正数x恒成立时，a≥2．

点评 本题考查了切线方程，函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．