Question

1．设（1+mx）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，x∈N^*．
（1）当m=2时，若a₂=180，求n的值；
（2）当m=$\sqrt{2}$，n=8时，求（a₀+a₂+a₄+a₆+a₈）²-（a₁+a₃+a₅+a₇）²的值；
（3）当m=-1，n=2016时，求S=$\sum_{k=0}^{2016}$$\frac{1}{{a}_{k}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用x²的系数为180得到关于n的方程解之；
（2）利用赋值法，将x分别赋值为1和-1，得到各项系数关系，对所求分解因式求值；
（3）将m，n代入，求出a_k，分析S表达式，得到即$\frac{1}{{C_{2016}^k}}=\frac{2017}{2018}（\frac{1}{{C_{2017}^k}}+\frac{1}{{C_{2017}^{k+1}}}）$，k=0，1，2，…，2016．  从而累加求和．

解答 解：（1）当m=2时，${a_2}=C_n^2×{2^2}=180$，即$\frac{n（n-1）}{2}=45$，解得n=10或n=-9（舍），
所以n的值为10．          …（4分）
（2）当$m=\sqrt{2}$，n=8时，
令x=1，则${（1+\sqrt{2}）^8}={a_0}+{a_1}+{a_2}+{a_3}+{a_4}+{a_5}+{a_6}+{a_7}+{a_8}$，
令x=-1，则${（1-\sqrt{2}）^8}={a_0}-{a_1}+{a_2}-{a_3}+{a_4}-{a_5}+{a_6}-{a_7}+{a_8}$，
所以${（{a_0}+{a_2}+{a_4}+{a_6}+{a_8}）^2}-{（{a_1}+{a_3}+{a_5}+{a_7}）^2}={（1+\sqrt{2}）^8}{（1-\sqrt{2}）^8}=1$．…（8分）
（3）当m=-1，n=2016时，${（1-x）^n}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_n}{x^n}$，
则${a_k}=C_{2016}^k{（-1）^k}$，k=0，1，2，…，2016，
所以$S=\frac{1}{{C_{2016}^0}}-\frac{1}{{C_{2016}^1}}+\frac{1}{{C_{2016}^2}}-\frac{1}{{C_{2016}^3}}+…-\frac{1}{{C_{2016}^{2015}}}+\frac{1}{{C_{2016}^{2016}}}$．   …（10分）
考虑$\frac{1}{{C_{2017}^k}}+\frac{1}{{C_{2017}^{k+1}}}=\frac{k!（2017-k）!}{2017!}+\frac{（k+1）!（2016-k）!}{2017!}$=$\frac{k!（2016-k）!×2018}{2017!}$=$\frac{2018}{2017}×\frac{1}{{C_{2016}^k}}$，
即$\frac{1}{{C_{2016}^k}}=\frac{2017}{2018}（\frac{1}{{C_{2017}^k}}+\frac{1}{{C_{2017}^{k+1}}}）$，k=0，1，2，…，2016．      …（14分）
所以$S=\frac{2017}{2018}[（\frac{1}{{C_{2017}^0}}+\frac{1}{{C_{2017}^1}}）-（\frac{1}{{C_{2017}^1}}+\frac{1}{{C_{2017}^2}}）+（\frac{1}{{C_{2017}^2}}+\frac{1}{{C_{2017}^3}}）-…$$-（\frac{1}{{C_{2017}^{2015}}}+\frac{1}{{C_{2017}^{2016}}}）+（\frac{1}{{C_{2017}^{2016}}}+\frac{1}{{C_{2017}^{2017}}}）]$=$\frac{2017}{2018}（\frac{1}{{C_{2017}^0}}+\frac{1}{{C_{2017}^{2017}}}）=\frac{2017}{1009}$．
故$S=\sum_{k=0}^{2016}{\frac{1}{a_k}}$的值为$\frac{2017}{1009}$．        …（16分）

点评 本题考查了二项展开式中，项的系数问题；主要用到了赋值法的思想解答．