Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，△ACD是正三角形，BD垂直平分AC，垂足为M，∠ABC=120°，PA=AB=1，PD=2，N为PD的中点．
（1）求证：AD⊥平面PAB；
（2）求证：CN∥平面PAB．

Answer 1

分析 （1）根据中垂线定理得出∠BAM，AM，利用正三角形的性质得出AD，∠DAC，从而得出AB⊥AD，PA⊥AD，于是AD⊥平面PAB；
（2）取AD的中点H，连结NH，CH．则可证明AD⊥平面NCH，于是平面NCH∥平面PAB，于是CN∥平面PAB．

解答 证明：（1）∵BD是AC的中垂线，∠ABC=120°，
∴∠ABM=60°，∠AMB=90°，∵AB=1，∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．∠BAM=30°．
∵△ACD是正三角形，∴AD=2AM=$\sqrt{3}$，∠DAC=60°，
∴∠BAD=∠BAM+∠DAC=90°，∴AB⊥AD．
又PA=1，PD=2，∴PA²+AD²=PD²，即PA⊥AD．
又PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴AD⊥平面PAB．
（2）取AD的中点H，连结NH，CH．
∵△ACD是正三角形，∴CH⊥AD，
∵N，H是PD，AD的中点，∴NH∥PA，
∵PA⊥AD，∴NH⊥AD．
又NH?平面NCH，CH?平面NCH，NH∩CH=H，
∴AD⊥平面NCH，又AD⊥平面PAB，
∴平面NCH∥平面PAB．
∵CN?平面NCH，
∴CN∥平面PAB．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面平行的判定，属于中档题．