Question

10．（文科学生做）已知函数f（x）=tanx-sinx，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（1）比较f（-$\frac{π}{3}$），f（-$\frac{π}{4}$），f（$\frac{π}{3}$）与0的大小关系；
（2）猜想f（x）的正负，并证明．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=tanx-sinx，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），能比较f（-$\frac{π}{3}$），f（-$\frac{π}{4}$），f（$\frac{π}{3}$）与0的大小关系．
（2）猜想：当x∈（-$\frac{π}{2}$，0）时，f（x）＜0；当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f（x）＞0；当x=0时，f（x）=0．利用导数性质能进行证明．

解答 解：（1）∵f（x）=tanx-sinx，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
∴f（-$\frac{π}{3}$）＜0，
f（-$\frac{π}{4}$）＜0，
f（$\frac{π}{3}$）＞0．
（2）猜想：当x∈（-$\frac{π}{2}$，0）时，f（x）＜0；
当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f（x）＞0；
当x=0时，f（x）=0．
证明：∵f（x）=tanx-sinx，
∴${f}^{'}（x）=（\frac{sinx}{cosx}）^{'}-（sinx）^{'}$=$\frac{1-co{s}^{3}x}{co{s}^{2}x}$，
∵x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），∴cosx∈（0，1]，∴f′（x）≥0，
∴f（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上单调递增，f（0）=tan0-sin0=0，
∴当x∈（-$\frac{π}{2}$，0）时，f（x）＜0；
当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f（x）＞0；
当x=0时，f（x）=0．

点评 本题考查三角函数的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．