Question

已知点M（3，1），直线ax-y+4=0及圆（x-1）²+（y-2）²=4
（1）求过M点的圆的切线方程
（2）若直线ax-y+4=0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2

3

，求a的值
（3）若电P（x，y）是圆上的任意一点，求k=

y-4

x

的取值范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,作图题,直线与圆

分析：（1）设过M点的圆的切线方程为x=m（y-1）+3，与圆的方程联立消元再令判别式为0即可；
（2）直线ax-y+4=0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2

3

可化为圆心到直线ax-y+4=0的距离为

4-3

=1；从而求解．
（3）k=

y-4

x

的几何意义是点P（x，y），与点（0，4）连线的直线的斜率，故设过点（0，4）的直线方程可设为kx-y+4=0；联立解△≥0即可．

解答： 解：（1）设过M点的圆的切线方程为x=m（y-1）+3；
与（x-1）²+（y-2）²=4联立消x得，
（m²+1）y²-2（m²-2m+2）y+（m-2）²=0；
故△=4（m²-2m+2）²-4（m²+1）（m-2）²=0，
化简得，3m²-4m=0；
故m=0或m=

4

3

；
故过M点的圆的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0；
（2）∵直线ax-y+4=0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2

3

，
∴圆心到直线ax-y+4=0的距离为

4-3

=1；
即d=

|a-2+4|

a2+1

=1，
解得，a=-

3

4

；
（3）k=

y-4

x

的几何意义是点P（x，y），与点（0，4）连线的直线的斜率，
过点（0，4）的直线方程可设为kx-y+4=0；
与（x-1）²+（y-2）²=4联立消y得，
（k²+1）x²+（4k-2）x+1=0，
故△=（4k-2）²-4（k²+1）≥0，
解得，k≤0或k≥

4

3

．

点评：本题全面都考查了直线与圆的位置关系的应用，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．