Question

17．已知函数$f（x）=\sqrt{1+{x^2}}$，x∈R．
（1）证明对?a、b∈R，且a≠b，总有：|f（a）-f（b）|＜|a-b|；
（2）设a、b、c∈R，且$a+b+c=f（2\sqrt{2}）$，证明：a+b+c≥ab+bc+ca．

Answer 1

分析 （1）利用放缩法和绝对值三角不等式的性质即可证明，
（2）由已知a+b+c=3，利用基本不等式即可证明

解答 证明：（1）$|f（a）-f（b）|=|\sqrt{1+{a^2}}-\sqrt{1+{b^2}}|=\frac{{|1+{a^2}-1-{b^2}|}}{{\sqrt{1+{a^2}}+\sqrt{1+{b^2}}}}$$＜\frac{{|{a^2}-{b^2}|}}{{\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}}}=\frac{|a-b||a+b|}{|a|+|b|}≤\frac{|a-b||a+b|}{|a+b|}=|a-b|$
若a+b=0时，不等式显然成立．   
（2）由已知a+b+c=3，
则3（a+b+c）=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca，
=$\frac{1}{2}（{a^2}+{b^2}）+\frac{1}{2}（{b^2}+{c^2}）+\frac{1}{2}（{c^2}+{a^2}）+2ab+2bc+2ca$，
≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca，
=3（ab+bc+ca）
故a+b+c≥ab+bc+ca．

点评 本题考查了绝对值的三角不等式和基本不等式的应用，考查了学生的转化能力，属于中档题