Question

7．已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）在（0，+∞）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出x＞0，f′（x）=lnx+1，利用导数性质能求出求函数f（x）在（0，+∞）上的最小值．
（2）2xlnx≥-x²+ax-3恒成立，等价于$a≤x+2lnx+\frac{3}{x}$恒成立，记$h（x）=x+2lnx+\frac{3}{x}（x＞0）$，则${h}^{'}（x）=\frac{{x}^{2}+2x-3}{{x}^{2}}$，利用导数性质能求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=xlnx，
∴x＞0，f′（x）=lnx+1，
由f′（x）＞0，得x＞$\frac{1}{e}$，∴f（x）在$（\frac{1}{e}，+∞）$上单调递增，
由f′（x）＜0，得0＜x＜$\frac{1}{e}$，∴f（x）在$（0，\frac{1}{e}）$上单调递减，
∴f（x）在$x=\frac{1}{e}$处取最小值，
∴$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{e}）=\frac{1}{e}ln\frac{1}{e}=-\frac{1}{e}$．
（2）2xlnx≥-x²+ax-3恒成立，等价于$a≤x+2lnx+\frac{3}{x}$恒成立，
记$h（x）=x+2lnx+\frac{3}{x}（x＞0）$，
则${h}^{'}（x）=\frac{{x}^{2}+2x-3}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增，
∴h（x）_min=h（1）=4，
∴实数a的取值范围是（-∞，4]．

点评 本题考查函数值的最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查导数的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、分类讨论思想，是中档题．