题目内容
10．等比数列{an}的各项均为正数，且a2-a1=6，9a32=a2a6．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=log3a1+log3a2+…+log3an，数列{$\frac{1}{b_n}$}的前n项和Tn，求证：Tn＜2．
分析 （1）利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用对数的运算性质、“裂项求和”方法即可得出．
解答 解：（1）设an公比为q，因为{an}的各项均为正数，则q＞0，
$\left\{\begin{array}{l}{a_2}-{a_1}={a_1}q-{a_1}=6\\ 9a_3^2={a_2}{a_6}⇒9a_1^2{q^4}={a_1}q•{a_1}{q^5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=3\\ q=3\end{array}\right.$，
∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}={3^n}$．
（2）${b_n}={log_3}{a_1}+{log_3}{a_2}+…+{log_3}{a_n}=1+2+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{b_n}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴${T_n}=2（1-\frac{1}{2}）+2（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=2（1-\frac{1}{n+1}）＜2$．
点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其求和公式、“裂项求和”方法、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
1．函数y=-x2+4x-7在区间（-1，3）上是（ ）
| A． | 增函数 | B． | 减函数 | ||
| C． | 先是增函数后是减函数 | D． | 先是减函数后是函数 |
15．某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如表：
（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）当价格x=40元/kg时，日需求量y的预测值为多少？
| 价格x（元/kg） | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| 日需求量y（kg） | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 |
（Ⅱ）当价格x=40元/kg时，日需求量y的预测值为多少？