Question

18．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{m+1}{2}$x²+x，g（x）=$\frac{1}{3}$-（m-1）x，m∈R．
（Ⅰ）若f（x）在x=1取得极值，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在区间（$\frac{1}{2}$，+∞）上为增函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求函数h（x）=f（x）-g（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，假设f（2），f′（2），求出切线方程即可；
（Ⅱ）问题转化为$m+1≤x+\frac{1}{x}$在区间$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上恒成立，求出x+$\frac{1}{x}$的最小值，解关于m的不等式即可求出m的范围；
（Ⅲ）求出h（x）的导数，得到h（x）的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（Ⅰ） f'（x）=x²-（m+1）x+1，
又∵函数f（x）在x=1处取得极值，
∴f'（1）=1-（m+1）+1=0，∴m=1，
∴$f（2）=\frac{2}{3}$，f'（2）=1，
∴曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程为：
$y-\frac{2}{3}=x-2$，即：3x-3y-4=0；
（Ⅱ） f'（x）=x²-（m+1）x+1，
∵f（x）在区间$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上为增函数，
∴x²-（m+1）x+1≥0，
∴$m+1≤x+\frac{1}{x}$在区间$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上恒成立，
∵当$x＞\frac{1}{2}$时，$x+\frac{1}{x}≥2$，当且仅当x=1时取得最小值，
∴m+1≤2，即m≤1；
（Ⅲ）$h（x）=f（x）-g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{m+1}{2}{x^2}+mx-\frac{1}{3}$，
∴h'（x）=x²-（m+1）x+m=（x-1）（x-m），
令h'（x）=0，得x=m或x=1，
当m=1时，h'（x）=（x-1）²≥0，
∴h（x）在R上是增函数，无极值，
当m＜1时，h（x），h'（x）随x的变化情况如下表：

x	（-∞，m）	m	（m，1）	1	（1，+∞）
h'（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴函数h（x）的单调递增区间为（-∞，m）和（1，+∞）；单调递减区间为（m，1），
故当x=m时，函数h（x）取得极大值，极大值为$-\frac{1}{6}{m^3}+\frac{1}{2}{m^2}-\frac{1}{3}$；
当x=1时，函数h（x）取得极小值，极小值为$\frac{m-1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．