Question

20．函数y=x$\sqrt{1-\frac{1}{2}{x}^{2}}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 当x＞0时，函数取得最大值．将函数变形为y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{{x}^{2}}$•$\sqrt{2-{x}^{2}}$，再由重要不等式ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$（a=b取得等号），计算即可得到所求最大值．

解答 解：当x＞0时，函数取得最大值．
即有y=x$\sqrt{1-\frac{1}{2}{x}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{2-{x}^{2}}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{{x}^{2}}$•$\sqrt{2-{x}^{2}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{{x}^{2}+2-{x}^{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当x²=2-x²，即x=1（-1舍去），函数取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用变形和重要不等式，注意等号成立的条件，考查运算能力，属于基础题．