Question

2．已知中心在原点的双曲线的右焦点为F（2，0），右顶点为A（1，0）．
（1）试求双曲线的方程；
（2）过左焦点作倾斜角为$\frac{π}{6}$的弦MN，试求△OMN的面积（O为坐标原点）．

Answer 1

分析 （1）求出双曲线的几何量，即可求解双曲线方程．
（2）求出直线方程，联立直线与双曲线方程，利用弦长公式以及点到直线的距离求解三角形的面积．

解答 解：（1）中心在原点的双曲线的右焦点为F（2，0），右顶点为A（1，0）．
$c=2，a=1，b=\sqrt{3}$，方程为${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$
（2）直线MN：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}（x+2）$与${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$联立，消去y可得，8x²-4x-13=0，则|MN|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}•\sqrt{（{\frac{1}{2}）}^{2}-4×（-\frac{13}{8}）}$=3$\begin{array}{c}.\end{array}\right.$
又原点到直线MN的距离为：d=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+1}}$=1，
△OMN的面积$S=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，直线与双曲线的位置关系的应用，考查计算能力．