Question

19．已知椭圆的焦点坐标为F₁（-1，0），F₂（1，0），过F₂作垂直于长轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3．
（1）求椭圆的方程；
（2）过F₁点作相互垂直的直线l₁，l₂，其中l₁交椭圆于P₁，P₂，l₂交椭圆于P₃，P₄，求证$\frac{1}{|P{{\;}_{1}P}_{2}|}$+$\frac{1}{|{P}_{3}{P}_{4}|}$是否为定值？并求当四边形P₁P₂P₃P₄面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，即a²-b²=1，再由弦长$\frac{2{b}^{2}}{a}$=3，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）讨论若l₁，l₂中有一个的斜率不存在，另一条为0，易得$\frac{1}{|P{{\;}_{1}P}_{2}|}$+$\frac{1}{|{P}_{3}{P}_{4}|}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{7}{12}$；若l₁，l₂的斜率都存在，且不为0，设l₁：y=k（x+1），l₂：y=-$\frac{1}{k}$（x+1），联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到定值；再由基本不等式，可得|P₁P₂|•|P₃P₄|≥（$\frac{24}{7}$）²=$\frac{576}{49}$，由四边形的面积公式即可得到所求最小值．

解答 解：（1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得c=1，即a²-b²=1，
令x=c，可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即有$\frac{2{b}^{2}}{a}$=3，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）证明：若l₁，l₂中有一个的斜率不存在，另一条为0，
此时$\frac{1}{|P{{\;}_{1}P}_{2}|}$+$\frac{1}{|{P}_{3}{P}_{4}|}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{7}{12}$；
若l₁，l₂的斜率都存在，且不为0，设l₁：y=k（x+1），l₂：y=-$\frac{1}{k}$（x+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}（x+1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$消去x，可得（4+3k²）y²+6ky-9=0，
设P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄），可得y₃+y₄=-$\frac{6k}{4+3{k}^{2}}$，y₃y₄=-$\frac{9}{4+3{k}^{2}}$，
|P₃P₄|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{36{k}^{2}}{（4+3{k}^{2}）^{2}}+\frac{36}{4+3{k}^{2}}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，
将k换为-$\frac{1}{k}$，可得|P₁P₂|=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
则$\frac{1}{|P{{\;}_{1}P}_{2}|}$+$\frac{1}{|{P}_{3}{P}_{4}|}$=$\frac{4+3{k}^{2}}{12（1+{k}^{2}）}$+$\frac{3+4{k}^{2}}{12（1+{k}^{2}）}$=$\frac{7（1+{k}^{2}）}{12（1+{k}^{2}）}$=$\frac{7}{12}$，
综上可得，$\frac{1}{|P{{\;}_{1}P}_{2}|}$+$\frac{1}{|{P}_{3}{P}_{4}|}$为定值$\frac{7}{12}$；
由$\frac{1}{|P{{\;}_{1}P}_{2}|}$+$\frac{1}{|{P}_{3}{P}_{4}|}$=$\frac{7}{12}$≥2$\sqrt{\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{2}|•|{P}_{3}{P}_{4}|}}$，
则|P₁P₂|•|P₃P₄|≥（$\frac{24}{7}$）²=$\frac{576}{49}$，
可得四边形P₁P₂P₃P₄面积S=$\frac{1}{2}$|P₁P₂|•|P₃P₄|≥$\frac{288}{49}$，
当且仅当|P₁P₂|=|P₃P₄|，即k=±1，面积取得最小值$\frac{288}{49}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用垂直于对称轴的弦长，考查直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查四边形面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题．