Question

11．如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据
耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）
（附：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$为样本均值）

Answer 1

分析 （1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．
（2）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出a的值，得到线性回归方程；根据上一问所求的线性回归方程，把x=100代入线性回归方程，即可估计生产100吨甲产品的生产能耗．

解答 解：（1）由题设所给数据，可得散点图如图所示：
．…（4分）
（2）由对照数据，计算得：$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$=86，
=43+4+5+6=4.5（吨），
=42.5+3+4+4.5=3.5（吨）．
已知$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：
$\widehat{b}$=$\frac{{{\sum_{i=1}^{4}x}_{i}y}_{i}-4\overline{x}•\overline{y}}{{{\sum_{i=1}^{4}x}_{i}}^{2}-{4\overline{x}}^{2}}$=86-4×4.5266.5-4×4.5×3.5=0.7，
$\widehat{a}$=-$\widehat{b}$=3.5-0.7×4.5=0.35．
因此，所求的线性回归方程为$\widehat{y}$=0.7x+0.35．…（9分）
由（2）的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：
90-（0.7×100+0.35）=19.65（吨标准煤）．…（12分）

点评 本题考查线性回归方程，两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关系的了解．