Question

9．如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC、BD，设内层椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），若直线AC与BD的斜率之积为-$\frac{1}{4}$，则椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 由于内层椭圆和外层椭圆的离心率相等，不妨设外层椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{（ma）^{2}}+\frac{{y}^{2}}{（mb）^{2}}$=1，设切线AC的方程为y=k₁（x-ma），代入椭圆方程消去y得：$（{k}_{1}^{2}{a}^{2}+{b}^{2}）$x²-2m${k}_{1}^{2}{a}^{3}$x+${m}^{2}{k}_{1}^{2}{a}^{4}$-a²b²=0，由△=0，化简得：${k}_{1}^{2}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$$•\frac{1}{{m}^{2}-1}$，同理可得${k}_{2}^{2}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}•（{m}^{2}-1）$，利用${k}_{1}^{2}{k}_{2}^{2}$=$\frac{{b}^{4}}{{a}^{4}}$=$（-\frac{1}{4}）^{2}$，可得$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，即可得出椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$．

解答 解：由于内层椭圆和外层椭圆的离心率相等，不妨设外层椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{（ma）^{2}}+\frac{{y}^{2}}{（mb）^{2}}$=1，
设切线AC的方程为y=k₁（x-ma），代入椭圆方程消去y得：$（{k}_{1}^{2}{a}^{2}+{b}^{2}）$x²-2m${k}_{1}^{2}{a}^{3}$x+${m}^{2}{k}_{1}^{2}{a}^{4}$-a²b²=0，
由△=$（-2m{k}_{1}^{2}{a}^{3}）^{2}$-4$（{k}_{1}^{2}{a}^{2}+{b}^{2}）$（${m}^{2}{k}_{1}^{2}{a}^{4}$-a²b²）=0，
化简得：${k}_{1}^{2}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$$•\frac{1}{{m}^{2}-1}$，
同理可得${k}_{2}^{2}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}•（{m}^{2}-1）$，
∴${k}_{1}^{2}{k}_{2}^{2}$=$\frac{{b}^{4}}{{a}^{4}}$=$（-\frac{1}{4}）^{2}$=$\frac{1}{16}$，
因此$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切的充要条件、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．