Question

14．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD是等边三角形，AD=DE=2AB=2，F，G分别为AD，DC的中点．
（1）求证：CF⊥平面ABED；
（2）求四棱锥C-ABED的体积；
（3）判断直线AG与平面BCE的位置关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥平面ACD得出平面ACD⊥平面ABED，由等边三角形得出CF⊥AD，利用面面垂直的性质得出CF⊥平面ABED；
（2）棱锥的底面ABED为直角梯形，高为CF，代入体积公式计算即可；'
（3）取CE的中点H，连结GH，BH，则可证明四边形ABHG是平行四边形，于是AG∥BH，得出AG∥平面BCE．

解答 证明：（1）∵F为等腰△ACD的边AD的中点
∴CF⊥AD，
∵AB⊥平面ACD，AB?平面ABED，
∴平面ACD⊥平面ABED
∵平面ACD∩平面ABED=AD，CF⊥AD，．CF?平面ACD，
∴CF⊥平面ABED．
（2）∵△ACD是边长为2的等边三角形，∴CF=$\sqrt{3}$．
∵S_梯形ABED=$\frac{1}{2}×（1+2）×2$=3，
∴${V_{C-ABEF}}=\frac{1}{3}{S_{ABEF}}•CF=\sqrt{3}$．
（3）结论：直线AG∥平面BCE．
证明：取CE的中点H，连结GH，BH，
∵G是CD的中点，
∴GH∥DE，且 GH=$\frac{1}{2}DE$=1，
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴GH∥AB，又GH=AB=1，
∴四边形ABHG为平行四边形，
∴AG∥BH，又AG?平面BCE，BH?平面BCE，
∴AG∥平面BCE．

点评 本题考查了线面垂直，线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．