Question

判断下列说法：
①已知用二分法求方程3^x+3x-8=0在x∈（1，2）内的近似解过程中得：f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（1.25，1.5）
②y=tanx在它的定义域内是增函数．
③函数y=

tanx

1-tan2x

的最小正周期为π
④函数f（x）=

1+sinx-cosx

1+sinx+cosx

是奇函数
⑤已知

AB

=（x，2x），

AC

=（-3x，2），若∠BAC是钝角，则x的取值范围是x＜0或x＞

4

3

             
其中说法正确的是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,阅读型,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：由零点存在定理，即可判断①；由y=tanx在（kπ-

π

2

，kπ+

π

2

）（k∈Z）递增，即可判断②；
由二倍角的正切公式，及正切函数的周期，即可判断③；
判断定义域是否关于原点对称，由于x=

π

2

，f（x）=1，但x=-

π

2

，1+sinx+cosx=0，f（x）无意义．则定义域不关于原点对称，即可判断④；
运用向量的夹角为钝角的等价条件为数量积小于0，且不共线，解不等式即可判断⑤．

解答： 解：对于①，由零点存在定理可得，第一次由于f（1）f（1.5）＜0，则位于区间（1，1.5），
第二次由于f（1.25）f（1.5）＜0，则位于（1.25，1.5），则①正确；
对于②，y=tanx在（kπ-

π

2

，kπ+

π

2

）（k∈Z）递增，则②错误；
对于③，函数y=

tanx

1-tan2x

=

1

2

tan2x，则函数的最小正周期为π，则③正确；
对于④，函数f（x）=

1+sinx-cosx

1+sinx+cosx

，由于x=

π

2

，f（x）=1，但x=-

π

2

，1+sinx+cosx=0，
f（x）无意义．则定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数．则④错误；
对于⑤，由于

AB

=（x，2x），

AC

=（-3x，2），若∠BAC是钝角，则

AB

•

AC

＜0，且

AB

，

AC

不共线，
则-3x²+4x＜0，且2x≠-6x²，解得x＞

4

3

或x＜0且x≠-

1

3

，则⑤错误．
综上可得，①③正确．
故答案为：①③．

点评：本题考查函数的零点、函数的奇偶性和周期性、单调性的判断，考查平面向量的夹角为钝角的条件，考查运算能力，属于基础题和易错题．