Question

已知函数f(x)＝＋ (e≈2.718…)．

(1)若x₁，x₂∈[1，＋∞)，x₁≠x₂，求证：＞0；

(2)若满足f(|a|＋3)＞f(|a－4|＋1)，试求实数a的取值范围．

Answer 1

 (1)证明：

∵ x₁，x₂∈[1，＋∞)，x₁≠x₂，

∴ x₁x₂＞1＞0，∴＞0.

∴＞0.

(2)由(1)可知，f(x)在[1，＋∞)上为单调增函数．

∵ |a|＋3＞1，|a－4|＋1≥1且f(|a|＋3)＞f(|a－4|＋1)，

∴ |a|＋3＞|a－4|＋1.

当a≤0时，有－a＋3＞4－a＋1，∴ 3＞5，

∴ a无解；

当0＜a＜4时，有a＋3＞4－a＋1，∴ a＞1，

∴ 1＜a＜4；

当a≥4时，a＋3＞a－4＋1，∴ 3＞－3，∴ a≥4.

综上所述：a的取值范围是(1，＋∞)．