Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d=

2

3

，且b_n=（-1）^n-1a_na_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：由等差数列的通项公式可得a_n，进而可得b_n，分n为偶数和奇数分别求和可得．

解答： 解：由题意可得a_n=a₁+（n-1）d=1+

2

3

（n-1）=

2n+1

3

，
∵b_n=（-1）^n-1a_na_n+1，
∴当n为偶数时，S_n=b₁+b₂+…+b_n
=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_n-1a_n-a_na_n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_n（a_n-1-a_n+1）
=（a₂+a₄+…+a_n）（-2d）
=-

4

3

×

(a2+an)

2

×

n

2

=-

4

3

×

( 5 3 + 2n+1 3 )

2

×

n

2

=

-2n(n+3)

9

；
当n为奇数时，S_n=S_n-1+b_n=

-2(n-1)(n-1+3)

9

+a_na_n+1
=

2n2+6n+7

9

，
∴S_n=

-2n(n+3) 9 ，n为偶数 2n2+6n+7 9 ，n为奇数

点评：本题考查等差数列的和求和公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．