Question

11．如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边BC，且使这两个三角形所在的平面互相垂直，∠BAC=∠CBD=90°，AB=AC，∠BCD=30°，BC=6．
（Ⅰ）证明：DB⊥AB；
（Ⅱ）求点C到平面ADB的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平面BCD⊥平面ABC，证明BD⊥平面ABC，可证DB⊥AB；
（Ⅱ）利用等体积，能求出C到平面ADB的距离．

解答 （Ⅰ）证明：∵平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC=BC
∴BD⊥平面ABC，
∵AB?平面ABC，
∴DB⊥AB；
（Ⅱ）解：由（I）BD⊥平面ABC，
∵S_△ABC=$\frac{1}{4}×36$=9，DB=$\frac{6}{\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$，
∴V_D-ABC=$\frac{1}{3}×9×2\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，
∵△ADB是直角三角形，AB=$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，DB=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ADB=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×2\sqrt{3}$=3$\sqrt{6}$．
设点C到平面ADB的距离为h，则$\frac{1}{3}•3\sqrt{6}•h=6\sqrt{3}$，
∴h=3$\sqrt{2}$，
∴点C到平面ADB的距离为3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，正确运用等体积法是关键．