Question

设曲线f（x）=x²+1和g（x）=x³+x在其交点处两切线的夹角为θ，求cosθ．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：求出两曲线的交点，再分别求得导数及切线的斜率，求得切线方程，再由两直线的方向向量，运用夹角公式，即可得到所求值．

解答： 解：由

y=x2+1 y=x3+x

，得x³-x²+x-1=0，
即（x-1）（x²+1）=0，∴x=1，∴交点为（1，2）．
又f'（x）=2x，∴f'（1）=2，
∴曲线y=f（x）在交点处的切线l₁的方程为y-2=2（x-1），即y=2x，
又g'（x）=3x²+1．∴g'（1）=4．
∴曲线y=g（x）在交点处的切线l₂的方程为y-2=4（x-1），即y=4x-2．
取切线l₁的方向向量为

a

=(1，2)，切线l₂的方向向量为

b

=(1，4)，
则cosθ=

a • b

| a|| b |

=

9

5 × 17

=

9 85

85

．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，同时考查两直线的夹角问题，考查运算能力，属于中档题．