Question

已知三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求证：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BDF．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理易证BD⊥平面PAC，于是有PA⊥BD，再利用线面垂直的判定定理即可证得AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）依题意知，DF∥AP，而AP⊥DE，于是可得DF⊥DE，即平面BDE与平面BDF的二面角为直角，从而可证平面BDE⊥平面BDF．

解答： 解：（Ⅰ）∵PC⊥底面ABC，BD?底面ABC，
∴PC⊥BD；
又AB=BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，PC∩AC=C，
∴BD⊥平面PAC，PA?平面PAC，
∴PA⊥BD，又DE⊥AP，BD∩DE=E，
∴AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）由AP⊥平面BDE知，AP⊥DE；又D、F分别为AC、PC的中点，
∴DF是△PAC的中位线，∴DF∥AP，∴DF⊥DE，即∠EDF=90°，
由BD⊥平面PAC可知，DE⊥BD，DF⊥BD，∠EDF为平面BDE与平面BDF的二面角，又∠EDF=90°，
∴平面BDE⊥平面BDF．

点评：本题考查线面垂直的判定定理与性质定理的应用，考查面面垂直的定义的应用，考查推理与证明的能力，属于中档题．