Question

已知集合A={x|x²-4x+3=0}，B={x|x²-ax+9=0，x∈R}．
（1）若A∩B=B，求实数a的取值范围；
（2）写出A∩B=B的一个充分非必要条件，并说明理由．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：（1）若A∩B=B等价为B⊆A，然后根据判别式和根与系数之间的关系即可求实数a的取值范围；
（2）根据充分条件和必要条件的定义即可写出A∩B=B的一个充分非必要条件．

解答： 解：A={x|x²-4x+3=0}={1，3}，
（1）若A∩B=B，则B⊆A，则B=∅或B={1}或B={3}或B={1，3}，
若B=∅，则判别式△=a²-36＜0，解得-6＜a＜6，
若B={1}，则

△=a2-36=0 1-a+9=0

，
即

a=±6 a=10

，此时无解．
若B={3}，则

△=a2-36=0 9-3a+9=0

，即

a=±6 a=6

，解得a=6，
若B={1，3}，则∵1×3=9不成立，即此时a无解．
综上-6＜a≤6．
（2）∵A∩B=B的等价条件是-6＜a≤6．
∴A∩B=B的一个充分非必要条件可以是0＜a＜6．，
∵当0＜a＜6时，-6＜a≤6成立，
当a=6时，满足-6＜a≤6但0＜a＜6，
∴0＜a＜6是A∩B=B的一个充分非必要条件．

点评：本题主要考查集合的基本运算和关系，以及充分条件和必要条件的应用，比较基础．