Question

14．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°．
（1）求∠BDA的大小
（2）求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理可求cos∠BDA的值，结合角的范围即可得解．
（2）由（1）及已知可求∠BDC=30°，利用正弦定理即可得解BC的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）在△ABC中，AD=5，AB=7，BD=8，由余弦定理得$cos∠BDA=\frac{{A{D^2}+B{D^2}-A{B^2}}}{2AD•BD}$…（2分）
=$\frac{25+64-49}{2×5×8}=\frac{1}{2}$…（4分）
∴∠BDA=60°…（6分）
（2）∵AD⊥CD，
∴∠BDC=30°…（7分）
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{BC}{{sin{{30}^0}}}=\frac{BD}{sin∠BCD}$，…（9分）
∴$BC=\frac{{8×\frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=4\sqrt{2}$．            …（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．