Question

12．已知函数f（x）=x³+3x对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，则x∈（-2，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 先利用函数的奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，再由导数判断出函数的单调性，利用奇偶性将不等式进行转化，再利用单调性去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得x的不等式组，解出可得答案．

解答 解：由题意得，函数的定义域是R，
且f（-x）=（-x）³+3（-x）=-（x³+3x）=-f（x），
所以f（x）是奇函数，
又f'（x）=3x²+3＞0，所以f（x）在R上单调递增，
所以f（mx-2）+f（x）＜0可化为：f（mx-2）＜-f（x）=f（-x），
由f（x）递增知：mx-2＜-x，即mx+x-2＜0，
则对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，
等价于对任意的m∈[-2，2]，mx+x-2＜0恒成立，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{-2x+x-2＜0}\\{2x+x-2＜0}\end{array}\right.$，解得-2＜x＜$\frac{2}{3}$，
即x的取值范围是（-2，$\frac{2}{3}$），
故答案为：（-2，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查恒成立问题，函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查转化思想，以及学生灵活运用知识解决问题的能力．