Question

若直线ax-by+1=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=a^x+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过同一个定点，则当

1

a

+

1

b

取最小值时，函数f（x）的解析式是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：函数的性质及应用

分析：先由函数f（x）的图象过定点，可得定点的坐标，再将此坐标代入直线方程，得a与b的关系式，从而使

1

a

+

1

b

变形为基本不等式成立的条件，根据基本不等式中等号成立的条件得a的值，最后将a的值代入f（x）中，即得函数f（x）的解析式．

解答： 解：在函数f（x）=a^x+1+1（a＞0且a≠1）中，令x+1=0，得x=-1时，f（-1）=a⁰+1=2，
即函数f（x）的图象过定点（-1，2），
∵点（-1，2）在直线ax-by+1=0上，∴a×（-1）-b×2+1=0，即a+2b=1．
又a＞0，b＞0，∴

1

a

+

1

b

=（

1

a

+

1

b

）（a+2b）=3+

2b

a

+

a

b

≥3+2

2b a • a b

=3+2

2

．
当且仅当

2b

a

=

a

b

即a=

2

b时，

1

a

+

1

b

取得最小值3+2

2

．此时，联立a+2b=1，得a=

2

-1，
从而f（x）=（

2

-1）^x+1+1．
故答案为：f（x）=（

2

-1）^x+1+1．

点评：本题主要考查了指数函数的定点性质及基本不等式的灵活运用等，涉及的知识比较多，一环紧扣一环，应注意解答过程的逻辑性．