Question

10．记M（x，y，z）为x，y、z三个数中的最小数．若二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c＞0）有零点，则M（$\frac{b+c}{a}$，$\frac{c+a}{b}$，$\frac{a+b}{c}$）的最大值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． 1

Answer 1

分析 由题意可得b²-4ac≥0，即为b≥2$\sqrt{ac}$，由最小数定义，运用换元法，不等式的性质和最值的定义，即可得到所求M的最大值$\frac{5}{4}$．

解答 解：设N（x，y，z）为x，y，z中的最大值．
由a，b，c＞0，可得M（$\frac{b+c}{a}$，$\frac{c+a}{b}$，$\frac{a+b}{c}$）=M（$\frac{a+b+c}{a}$，$\frac{a+b+c}{b}$，$\frac{a+b+c}{c}$）-1
=$\frac{1}{N（\frac{a}{a+b+c}，\frac{b}{a+b+c}，\frac{c}{a+b+c}）}$-1，
则M（$\frac{b+c}{a}$，$\frac{c+a}{b}$，$\frac{a+b}{c}$）的最大，即为N（$\frac{a}{a+b+c}$，$\frac{b}{a+b+c}$，$\frac{c}{a+b+c}$）的最小．
记$\frac{a}{a+b+c}$=t，$\frac{b}{a+b+c}$=u，$\frac{c}{a+b+c}$=v，则t+u+v=1，
二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c＞0）有零点，
可得△=b²-4ac≥0，即为b≥2$\sqrt{ac}$，
即为u²≥4tv，当N（t，u，v）=t时，由t≥u，即t²≥u²≥4tv，
可得v≤$\frac{t}{4}$，则1=t+u+v≤t+t+$\frac{t}{4}$，即有t≥$\frac{4}{9}$，当且仅当u=t=4v时，取得等号．
则N（t，u，v）的最小值为$\frac{4}{9}$，
同理可得当N（t，u，v）=v时，N（t，u，v）的最小值为$\frac{4}{9}$；
当N（t，u，v）=u时，假设u＜$\frac{4}{9}$，
由u+v+t=1≤2u+v＜$\frac{8}{9}$+v，即v＞$\frac{1}{9}$，
又因为v≤u＜$\frac{4}{9}$，则$\frac{1}{9}$＜v＜$\frac{4}{9}$．
又uv≤u²＜$\frac{16}{81}$，所以t＜$\frac{4}{81v}$即t+v＜v+$\frac{4}{81v}$，
由$\frac{1}{9}$＜v＜$\frac{4}{9}$，对勾函数的单调性，可得v+$\frac{4}{81v}$＜$\frac{5}{9}$，
则t+v＜$\frac{5}{9}$，又u＜$\frac{4}{9}$，可得u+v+t＜1与u+v+t=1矛盾，
故假设不成立，即u≥$\frac{4}{9}$，即N（t，u，v）≥$\frac{4}{9}$，
综上可得，N（t，u，v）的最小值为$\frac{4}{9}$，
则M（$\frac{b+c}{a}$，$\frac{c+a}{b}$，$\frac{a+b}{c}$）的最大值为$\frac{1}{\frac{4}{9}}$-1=$\frac{5}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查新定义的理解和运用，函数最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法和不等式的性质，同时考查函数零点的理解和运用，考查化简整理的运算能力，具有一定的难度．