Question

1．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（-2，4），$\overrightarrow{OB}$=（3，-1），$\overrightarrow{OC}$=（m，-4）．
（1）当m=-3时，求向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$夹角的余弦值；
（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的坐标运算和向量的夹角公式即可求出，
（2）根据向量的垂直的条件，即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，代值计算即可．

解答 解：（1）当m=-3时，$\overrightarrow{OC}$=（-3，-4），
∵量$\overrightarrow{OA}$=（-2，4），$\overrightarrow{OB}$=（3，-1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（5，-5），$\overrightarrow{BC}$=（-6，-3），
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=5×（-6）+（-5）×（-3）=-15，
|$\overrightarrow{AB}$|=5$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{BC}$=3$\sqrt{5}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{-15}{5\sqrt{2}•3\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
（2）由（1）知$\overrightarrow{AB}$=（5，-5），$\overrightarrow{AC}$=（m+2，-8），
∵∠A为直角，
∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
即5（m+2）+40=0，
解得m=-10

点评 本题考查了向量的夹角公式和向量的垂直的条件，属于基础题．