Question

20．已知a，b，c均为正实数，求证：
（1）$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥$\frac{4}{a+b}$；
（2）$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{2c}$≥$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$．

Answer 1

分析 （1）运用两个正数的均值不等式，可得a+b≥2$\sqrt{ab}$，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，相乘即可得证；
（2）由（1）可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥$\frac{4}{a+b}$；同理可得$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≥$\frac{4}{b+c}$；$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$≥$\frac{4}{c+a}$．三式相加，整理即可得证．

解答 证明：（1）a，b均为正实数，
可得a+b≥2$\sqrt{ab}$，
$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，
相乘可得（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）≥2$\sqrt{ab}$•2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$=4，
当且仅当a=b，取得等号．
则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥$\frac{4}{a+b}$；
（2）由（1）可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥$\frac{4}{a+b}$；
同理，由b，c为正实数，可得$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≥$\frac{4}{b+c}$；
由c，a为正实数，可得$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$≥$\frac{4}{c+a}$．
相加可得，2（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）≥$\frac{4}{a+b}$+$\frac{4}{b+c}$+$\frac{4}{c+a}$，
即有$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{2c}$≥$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法，以及不等式的性质，考查运算和推理能力，属于中档题．