Question

5．函数y=$\sqrt{x}$+$\sqrt{3-3x}$的值域为（　　）

• A． [0，3]
• B． [1，2]
• C． [0，$\sqrt{3}$]
• D． [$\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}$，$\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$]

Answer 1

分析 设x=cos²α（0≤α≤$\frac{π}{2}$），则y=cosα+$\sqrt{3}$sinα=2sin（α+$\frac{π}{6}$），利用三角函数的图象与性质，可得函数y=$\sqrt{x}$+$\sqrt{3-3x}$的值域．

解答 解：设x=cos²α（0≤α≤$\frac{π}{2}$），则y=cosα+$\sqrt{3}$sinα=2sin（α+$\frac{π}{6}$），
∵0≤α≤$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{6}$≤α+$\frac{π}{6}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$≤sin（α+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴1≤2sin（α+$\frac{π}{6}$）≤2，
∴函数y=$\sqrt{x}$+$\sqrt{3-3x}$的值域为[1，2]．
故选：B．

点评 本题考查函数y=$\sqrt{x}$+$\sqrt{3-3x}$的值域，考查三角函数的图象与性质，正确换元是关键．