Question

2．已知圆C：x²+y²-2x-2y+1=0，直线l：3x+4y-17=0．若在直线l上任取一点M作圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，则AB的长度取最小值时直线AB的方程为6x-8y-19=0．

Answer 1

分析 当AB的长度最小时，圆心角∠ACB 最小，设为2$\theta$，当$\theta$ 最小时，$cos\theta$ 最大，即CM 最小，由此能求出直线AB的方程．

解答 解：当AB的长度最小时，圆心角∠ACB 最小，设为2$\theta$
则由$cosθ=\frac{AC}{CM}=\frac{1}{CM}$，
知当$\theta$ 最小时，$cos\theta$ 最大，即CM 最小，那么CM⊥l，
∴${k_{AB}}={k_l}=-\frac{3}{4}$，
设直线AB的方程为3x+4y=m．
又由CM=2，知点C 到直线AB的距离为$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{2}=\frac{{|{3+4-m}|}}{5}$，解得$m=\frac{19}{2}$ 或m=$\frac{9}{2}$；
经检验$m=\frac{19}{2}$，则直线AB的方程为6x+8y-19=0．
故答案为：6x+8y-19=0．

点评 本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、三角函数知识的合理运用．