Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2

2

，BC=4

2

，PA=2，点M在线段PD上．
（Ⅰ） 求证：AB⊥PC；
（Ⅱ） 若二面角M-AC-D的大小为45°，求AM的长．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,空间中直线与直线之间的位置关系,二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：（Ⅰ）设E为BC的中点，连结AE，由已知条件推导出四边形AECD为平行四边形，从而得到AE⊥BC，AB⊥AC．由此能证明AB⊥平面PAC，从而得到AB⊥PC．
（Ⅱ）以A为坐标原点，以射线AE、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出AM的长．

解答： （Ⅰ）证明：如图，设E为BC的中点，连结AE，
则AD=EC，且AD∥EC，所以四边形AECD为平行四边形，
故AE⊥BC，又AE=BE=EC=2

2

，
所以∠ABC=∠ACB=45°，得AB⊥AC．
因为PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以AB⊥PA．
又PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
所以AB⊥平面PAC，所以AB⊥PC．…（4分）
（Ⅱ）解：如图，以A为坐标原点，
以射线AE、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，
建立空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），E(2

2

，0，0)，B(2

2

，-2

2

，0)，C(2

2

，2

2

，0)，D(0，2

2

，0)，P（0，0，2）．
设

PM

=t

PD

(0≤t≤1)，M（0，y₀，z₀），
则f′(x)=

x(x-1)

2(x+1)

，

PD

=(0，2

2

，-2)，
所以y0=2

2

t，z0=2-2t，
即M(0，2

2

t，2-2t)，…（10分）
设

n

=（x₁，y₁，z₁）是平面AMC的一个法向量，
则

n • AC =2 2 x1+2 2 y1=0 n • AM =2 2 ty1+(2-2t)z1=0

，
令y1=

2

，得x1=-

2

，z1=

2t

t-1

，即

n

=(-

2

，

2

，

2t

t-1

)．
又

m

=（0，0，1）是平面ACD的一个法向量，
所以|cos＜

m

，

n

＞|=

| 2t t-1 |

4+( 2t t-1 )2

=cos45°，
解得t=

1

2

，即M为PD的中点，
故M(0，

2

，1)，…（13分）
所以

AM

=（0，

2

，1），
故AM的长|

AM

|=

2+1

=

3

．…（15分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．