Question

已知函数f（x）=2sin（π-x）•cosx+sin²x-cos²x，x∈R．
（Ⅰ）求f（

π

2

）的值及函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调减区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用诱导公式以及二倍角公式化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，
（Ⅰ）直接求f（

π

2

）的值，直接求出函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用函数的单调减区间求解函数f（x）在[0，π]上的单调减区间．

解答： 解：∵f（x）=2sin（π-x）•cosx+sin²x-cos²x=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

）．
（Ⅰ）f（

π

2

）

2

sin（2×

π

2

-

π

4

）=

2

×

2

2

=1．
显然，函数f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）．
的最小正周期为π．…（8分）
（Ⅱ）令2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

得
kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

，k∈Z．
又x∈[0，π]，∴x∈[

3π

8

，

7π

8

]．
函数f（x）在[0，π]上的单调减区间[

3π

8

，

7π

8

]．       …（13分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数的基本性质的应用．