Question

已知函数f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx﹙ω＞0﹚，其图象的最高点M与相邻最低点N的距离MN=

1

4

π2+64

．
（1）求ω的值；
（2）若△ABC三边a、b、c成等差数列，且边b所对角为∠B，求f（B）的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：（1）由条件利用三角恒等变换求得函数f（x）=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

，再根据其图象的最高点M与相邻最低点N的距离MN=

1

4

π2+64

=

22+( 1 2 • 2π 2ω )2

，求得ω的值． 
（2）由2b=a+c，利用余弦定理、基本不等式可得cosB≥

1

2

，可得0＜B≤

π

3

，再利用正弦函数的定义域和值域求得f（B）=sin（4B-

π

6

）-

1

2

的范围．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx=

3

2

sin2ωx-

1+co2ωx

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

，
其图象的最高点M与相邻最低点N的距离MN=

1

4

π2+64

=

22+( 1 2 • 2π 2ω )2

，∴ω=2．
（2）若△ABC三边a、b、c成等差数列，则2b=a+c．
由余弦定理可得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3 4 (a2+c2)- 1 2 ac

2ac

≥

ac

2ac

=

1

2

，∴0＜B≤

π

3

，∴4B-

π

6

∈（-

π

6

，

7π

6

），
∴sin（4B-

π

6

）∈（-

1

2

，1]，
∴f（B）=sin（4B-

π

6

）-

1

2

∈（-1，

1

2

]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换、余弦定理、基本不等式、正弦函数的定义域和值域，属于基础题．