Question

9．德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即$\frac{n}{2}$）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则旅行变换后的第9项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为7．

Answer 1

分析 利用第9项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求出n的所有可能的取值．

解答 解：如果正整数n按照上述规则施行变换后的第9项为1，
则变换中的第8项一定是2，
则变换中的第7项一定是4，
变换中的第6项可能是1，也可能是8；
变换中的第5项可能是2，也可是16，
变换中的第5项是2时，变换中的第4项是4，变换中的第3项是1或8，变换中的第2项是2或16，
变换中的第5项是16时，变换中的第4项是32或5，变换中的第3项是64或10，变换中的第2项是20或3，
变换中第2项为2时，第1项为4，变换中第2项为16时，第1项为32或5，变换中第2项为3时，第1项为6，变换中第2项为20时，第1项为40，变换中第2项为21时，第1项为42，变换中第2项为128时，第1项为256，
则n的所有可能的取值为4，5，6，32，40，42，256，共7个，
$1→2→4→\left\{\begin{array}{l}{8→16→\left\{\begin{array}{l}{32→64→\left\{\begin{array}{l}{128→256}\\{21→42}\end{array}\right.}\\{5→10→\left\{\begin{array}{l}{20→40}\\{3→6}\end{array}\right.}\end{array}\right.}\\{1→2→4→\left\{\begin{array}{l}{8→16→\left\{\begin{array}{l}{32}\\{5}\end{array}\right.}\\{1→2→4}\end{array}\right.}\end{array}\right.$
故答案为：7．

点评 本题主要考查归纳推理的应用，利用变换规则，进行逆向验证是解决本题的关键，考查学生的推理能力，属于中档题．