Question

已知数列{a_n}，S_n为它的前n项的和，已知a₁=2，a_n+1=S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求证数列{S_n}是等比数列，并求S_n的表达式．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由数列递推式求出a₂，取n≥2得另一递推式，作差后得到数列从第二项起构成等比数列，由等比数列的通项公式得答案；
（2）由a_n+1=S_n得a_n+1+S_n=2S_n，即S_n+1=2S_n，验证S₁不为0后得答案．

解答： 解：（1）∵a₁=2a_n+1=S_n…①
∴当n=1时，a₂=S₁=a₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-1…②
①-②得a_n+1-a_n=S_n-S_n-1=a_n，
∴a_n+1=2a_n，依题a_n≠0，
∴

an+1

an

=2（n≥2），
又∵

a2

a1

=1≠2，
∴a₂，a₃，a₄，…，a_n成等比，公比为2，
∴n≥2时，an=a2qn-2=2×2n-2=2n-1．
∴an=

2(n=1) 2n-1(n≥2)

；
（2）∵a_n+1=S_n，
∴a_n+1+S_n=2S_n，
∴S_n+1=2S_n，
∵S₁=a₁=2，
∴S_n≠0，
则

Sn+1

Sn

=2．
∴数列{S_n}是首项S₁=2，公比为2的等比数列，
∴Sn=2×2n-1=2n．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．